# Plan curriculum — Mathématiques modernes, style Galion (collège) ## Cible Curriculum de mathématiques modernes pour le collège (6e–3e), inspiré du programme Lichnerowicz (1969–1975) et de la pédagogie des fiches Galion (Lyon, 1968). La géométrie n'est volontairement pas couverte (les figures s'éditent mal en éditeur léger ; il existe d'excellents ouvrages dédiés). ## Format - **1 fiche = 2 pages.** - Page 1 : *Découverte → Cours → Illustration → Exemples → Exercices d'apprentissage* (~ 30 min) - Page 2 : *Batterie d'exercices* triés en trois niveaux **1★ / 2★ / 3★** (~ 30 min) - **Cible** : 1 h de travail effectif pour un bon élève. - **Synthèses** : toutes les 5 fiches (ou 6 pour bloc A), 1 fiche de synthèse au même format, croisant les notions du bloc et les blocs précédents. ## Volume 8 blocs × ≈ (5 fiches + 1 synthèse) ≈ **49 fiches × 2 pages ≈ 98 pages** (~ 49 h). Le bloc H est *bonus*. ## Niveau cible par bloc (correspondance 70s) | Bloc | Sujet | Niveau 70s | |---|---|---| | A | Décrire et comparer des ensembles | 6e/5e | | B | Algèbre des ensembles | 5e/4e | | C | Relations et équivalence | 4e | | D | Ordre | 4e/3e | | E | Applications | 3e/2nde | | F | Arithmétique | parallèle 6e–3e | | G | Structures algébriques | 4e/3e | | H | Cardinaux et infini *(bonus)* | post-bac | --- ## Bloc A — Décrire et comparer des ensembles *Plan révisé 2026-05-05 : 6 fiches + 1 synthèse (était 5 + 1). F1 a absorbé l'extension/compréhension de l'ancien F2 et a été allégée par la création d'un F2 dédié aux notations.* | # | Titre | Concept central | Pré-requis | |---|---|---|---| | F1 | Ensembles et appartenance | $\in, \notin$, extension, compréhension (intro), exemples équivalents | aucun | | F2 | Notations utiles | $\emptyset$, $\|E\|$ (cardinal), $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ; mention de $\mathbb{Q}, \mathbb{R}$ | F1 | | F3 | Décrire un ensemble — bien définir | conditions composées (et / ou), « bien défini » vs ambigu, égalité par équivalence des propriétés | F1, F2 | | F4 | Inclusion et sous-ensembles | $\subset$, $\in$ vs $\subset$, réflexivité, transitivité, double inclusion, premiers diagrammes patate | F2, F3 | | F5 | Parties d'un ensemble | $\mathcal{P}(E)$, $\|\mathcal{P}(E)\| = 2^{\|E\|}$, diagramme de Hasse | F4 | | F6 | Ensembles de nombres | chaîne $\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$, irrationnels, preuve guidée que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, teaser Cantor | F4 | | **S1** | **Construire et décrire** | dialogue extension / compréhension / inclusion / parties / nombres ; problèmes enchaînés | bloc A | ## Bloc B — Algèbre des ensembles *Note : la numérotation globale F1, F2, … est purement conceptuelle. Chaque bloc a sa propre séquence interne.* | # | Titre | Concept central | Pré-requis | |---|---|---|---| | F7 | Réunion et intersection | $\cup, \cap$, commutativité, associativité | bloc A | | F8 | Complémentaire, différence | $\overline{A}$, $A \setminus B$, $A \triangle B$ | F7 | | F9 | De Morgan et distributivité | $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ ; $\cap$ distrib. sur $\cup$ | F7, F8 | | F10 | Produit cartésien | $A \times B$, couples, $\mathbb{R}^2$ | F1 | | F11 | Cardinal et crible | $|A \cup B|$, $|A \times B|$, principe additif | F4, F7 | | **S2** | **L'algèbre des ensembles** | identités, démonstrations à 2-3 ensembles | bloc B + S1 | ## Bloc C — Relations et équivalence | # | Titre | Concept central | Pré-requis | |---|---|---|---| | F11 | Relations binaires | $\mathcal{R} \subset E \times F$ ; sagittal, tableau, graphe | F9 | | F12 | Propriétés des relations | réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive | F11 | | F13 | Relations d'équivalence | $\sim$ : R + S + T | F12 | | F14 | Classes et partitions | classes disjointes, $E/\sim$ | F13 | | F15 | Ensembles quotients célèbres | $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, fractions, vecteurs | F14 | | **S3** | **Partitionner, c'est classer** | équivalences ↔ partitions | bloc C + S2 | ## Bloc D — Ordre | # | Titre | Concept central | Pré-requis | |---|---|---|---| | F16 | Relations d'ordre | $\preccurlyeq$ : R + AS + T ; total vs partiel | F12 | | F17 | Diagrammes de Hasse | tracer un ordre, lecture | F16 | | F18 | Ordre lexicographique | composer deux ordres, mots, couples | F16, F9 | | F19 | Bornes : max, min, majorant | vocabulaire ; existence vs unicité | F16 | | F20 | Ordres usuels | $\leqslant$ sur $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ ; « divise » ; $\subset$ | F4, F16 | | **S4** | **Comparer et ranger** | quand peut-on toujours comparer ? | bloc D + S2 | ## Bloc E — Applications | # | Titre | Concept central | Pré-requis | |---|---|---|---| | F21 | Applications | $f : E \to F$, image, antécédent | F11 | | F22 | Image directe / réciproque | $f(A)$, $f^{-1}(B)$ | F21 | | F23 | Composition | $g \circ f$, identité, associativité | F21 | | F24 | Injection et surjection | « au plus une » / « au moins une » | F21 | | F25 | Bijection et réciproque | bij. ⟺ inj. + surj. ; $f^{-1}$ | F23, F24 | | **S5** | **Aller et revenir** | $f$ et $f^{-1}$, cardinaux finis | bloc E + S3 | ## Bloc F — Arithmétique *Bloc nouveau. En 70s, l'arithmétique était enseignée en parallèle de la théorie des ensembles, de la 6e à la 3e. Ici, regroupé en un bloc cohérent ; place à fixer après les blocs A et B (les fiches travaillent sur $\NN, \ZZ$).* | # | Titre | Concept central | Pré-requis | |---|---|---|---| | F-F1 | Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ | $a \mid b$, propriétés, multiples / diviseurs | A | | F-F2 | Division euclidienne | $a = bq + r$, $0 \le r < |b|$, unicité | F-F1 | | F-F3 | PGCD et PPCM | algorithme d'Euclide, identités, $a \mid b \cdot c \Rightarrow \ldots$ | F-F2 | | F-F4 | Nombres premiers | définition, infinité, décomposition unique | F-F3 | | F-F5 | Congruences modulo $n$ | $a \equiv b \pmod{n}$, classes, opérations | F-F1, C | | **S-F** | **Arithmétique : structure cachée** | de la division euclidienne aux congruences | bloc F + S2 | ## Bloc G — Structures algébriques *Bloc nouveau. En 70s, le groupe était introduit en 4e via les translations en géométrie. Ici, on l'introduit via $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et la composition d'applications.* | # | Titre | Concept central | Pré-requis | |---|---|---|---| | F-G1 | Lois de composition interne | $\star : E \times E \to E$, exemples, contre-exemples | F10, E | | F-G2 | Élément neutre, symétrique | unicité, premiers exemples ($+$, $\times$, $\circ$) | F-G1 | | F-G3 | Groupe | $(G, \star)$ : associativité + neutre + symétrique ; exemples ($\mathbb{Z}, +$), $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ | F-G2, F-F5 | | F-G4 | Sous-groupe | définition, critère ; sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$ | F-G3 | | F-G5 | Anneau, corps (intro) | $(\mathbb{Z}, +, \times)$ anneau ; $(\mathbb{Q}, +, \times)$ corps ; teaser $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ corps | F-G3 | | **S-G** | **Voir des groupes partout** | translations, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, bijections d'un ensemble | bloc G + S5 | ## Bloc H — Cardinaux et infini *(bonus)* | # | Titre | Concept central | Pré-requis | |---|---|---|---| | F-H1 | Cardinal fini, principe d'addition | $|A \sqcup B| = |A| + |B|$ | F11 | | F-H2 | Principe multiplicatif | $|A \times B| = |A|\cdot|B|$, $n$-uplets | F-H1, F10 | | F-H3 | Bijection et même cardinal | bij. ⟺ même taille (fini) | F25, F-H2 | | F-H4 | Ensembles dénombrables | $\mathbb{N} \sim \mathbb{Z} \sim \mathbb{Q}$, énumérations | F-H3 | | F-H5 | L'argument diagonal | $\mathbb{R}$ non dénombrable, $|\mathcal{P}(\mathbb{N})| > |\mathbb{N}|$ | F-H4 | | **S-H** | **De Galilée à Cantor** | l'infini, paradoxes apparents | bloc H + S5 | --- ## Décisions arrêtées 1. **Logique** (∧, ∨, ¬, ⇒, ∀, ∃) : introduite **au fil de l'eau**, pas de fiche L0 préalable. 2. **Synthèses** : page 1 = récap des notions du bloc, page 2 = exercices **plus longs et dirigés** (problèmes en plusieurs questions enchaînées). 3. **Ordre des blocs** : équivalence (Bloc C) **avant** ordre (Bloc D). 4. **Pré-requis arithmétiques** (divisibilité, reste, etc.) : **acquis supposés** ; signalés par un drapeau ⚐ dans la fiche concernée pour repérage immédiat si rappel nécessaire. 5. **Bloc H** (cardinaux et infini) : **gardé en bonus** ; abordable après bloc E/F/G ou réservable pour plus tard. 6. **Géométrie** : volontairement absente. Trop coûteuse à éditer en éditeur léger (figures), mieux servie par des manuels dédiés. ## Progression sur le cycle collège Le curriculum couvrant 6e–3e, le rythme est de ~1 fiche par semaine, étalé sur 4 ans en parallèle des cours scolaires. Ordre suggéré : - **6e** : bloc A (ensembles fondamentaux) + premières fiches du bloc F (arithmétique : divisibilité, division euclidienne). - **5e** : fin bloc A + bloc B (algèbre des ensembles) + suite bloc F (PGCD, premiers). - **4e** : bloc C (relations, équivalence) + bloc D (ordre) + fin bloc F (congruences). - **3e** : bloc E (applications) + bloc G (structures algébriques) + bloc H si motivé. Rythme alternatif : 2 fiches/semaine pour boucler en 2 ans (élèves très avancés).