Fiche 5 — Ensembles de nombres

Vocabulaire et notations

Entiers naturels. $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$.

On note $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \ldots\}$ les entiers naturels privés de $0$.
$\mathbb{N}$ permet de faire des calculs simples : si $a \in \mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}$, alors $a + b \in \mathbb{N}$ et $a \times b = ab \in \mathbb{N}$.
En revanche $3 - 5$ n'a pas de sens dans $\mathbb{N}$.

Entiers relatifs. $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$.

On a $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ : tout entier naturel est un entier relatif.
$\mathbb{Z}$ étend le champ des calculs possibles : si $a, b \in \mathbb{Z}$ (raccourci pour « $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}$ »), alors on a toujours $a - b \in \mathbb{Z}$. Cependant, $a \div b$ ne donne toujours pas un élément de $\mathbb{Z}$ (par exemple $2 \div 3 \notin \mathbb{Z}$).

Rationnels. $\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres qui s'écrivent comme une fraction $\frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$.

On a $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ car tout entier $n$ peut s'écrire comme une fraction : $n = \frac{n}{1}$.
Plusieurs fractions désignent le même rationnel : $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \cdots$
$\mathbb{Q}$ permet de faire toutes les opérations courantes : addition, soustraction, multiplication et division (il faut quand même vérifier que le terme de droite n'est pas nul : si $a, b \in \mathbb{Q}$ et $b \neq 0$, alors $\frac{a}{b} = a \div b \in \mathbb{Q}$).
Limite : il existe des nombres usuels qui ne sont pas dans $\mathbb{Q}$, comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$.

Réels. $\mathbb{R}$ contient tous les rationnels et aussi les nombres irrationnels tels que $\sqrt{2}$, $\pi$, ou $\sqrt[3]{3}$.

On a $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
$\mathbb{R}$ contient tous les nombres qu'on peut placer sur une droite graduée.

Chaîne d'inclusions strictes. On a (évident) : $\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$.

Notations courantes. $\mathbb{R}^+$ = réels positifs ou nuls ; $\mathbb{R}^-$ = réels négatifs ou nuls ; $\mathbb{R}^*$ = $\mathbb{R}$ privé de $0$. Idem pour $\mathbb{Z}^*, \mathbb{Q}^*$.

Exemples

$7 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
$-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$.
$\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$.
$\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ mais $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ (irrationnel).
$\pi \in \mathbb{R}$ mais $\pi \notin \mathbb{Q}$ (irrationnel).

Pour s'entraîner

Pour chaque nombre, dis dans quels ensembles parmi $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ il est : $5$, $-2$, $0$, $\frac{3}{4}$, $\pi$, $\sqrt{9}$.
Donne un exemple de nombre dans $\mathbb{R}$ mais pas dans $\mathbb{Q}$.
Vrai ou faux ? (a) $\mathbb{N}^* \subset \mathbb{N}$ (b) $0 \in \mathbb{R}^+$ (c) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$.

Pour aller plus loin. Existe-t-il « plus » de réels que de rationnels ? → voir l'exercice 8 (page suivante), puis la fiche 30.

★Application directe

Pour chaque nombre, indique le plus petit des ensembles $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ auquel il appartient.
1. $7$
2. $-2$
3. $0$
4. $\frac{3}{4}$
5. $-\frac{1}{3}$
6. $\sqrt{4}$
7. $\sqrt{3}$
8. $\pi$
Vrai ou faux ?
1. $5 \in \mathbb{N}$
2. $-3 \in \mathbb{N}$
3. $\frac{1}{2} \in \mathbb{Z}$
4. $0 \in \mathbb{N}^*$
5. $\pi \in \mathbb{Q}$
6. $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$
7. $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$
8. $\mathbb{Q} = \mathbb{R}$

★★Comprendre et traduire

Justifie chaque inclusion stricte en exhibant un élément témoin.
1. $\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z}$ : donne un élément de $\mathbb{Z}$ qui n'est pas dans $\mathbb{N}$.
2. $\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q}$ : donne un élément de $\mathbb{Q}$ qui n'est pas dans $\mathbb{Z}$.
3. $\mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$ : donne un élément de $\mathbb{R}$ qui n'est pas dans $\mathbb{Q}$.
Donne trois fractions différentes qui désignent le même rationnel $\frac{3}{4}$.
Donne trois rationnels entre $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{2}$. Combien penses-tu qu'il y en ait en tout ? Justifie en une phrase.
Le domaine compte. Soit $S = \{x \mid x^2 = 2\}$ et $T = \{x \mid x^2 \leqslant 9\}$. Donne $S$ et $T$ si on cherche dans :
1. $\mathbb{N}$
2. $\mathbb{Z}$
3. $\mathbb{Q}$
4. $\mathbb{R}$

★★★Pousser plus loin

$\sqrt{2}$ n'est pas rationnel. On va démontrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel : on suppose que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ et on aboutit à une contradiction (quelque chose d'impossible). On suppose donc qu'il existe $p, q \in \mathbb{N}^*$ tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$.
1. Élève cette égalité au carré : que vaut $p^2$ en fonction de $q$ ?
2. Petit résultat intermédiaire. Si $n \in \mathbb{N}$ est pair, que peux-tu dire de la parité de $n^2$ ? Et si $n$ est impair ? Donc, si $m$ est un entier et $m^2$ est pair, que peux-tu dire de la parité de $m$ ?
3. Que peux-tu dire de la parité de $p^2$ ? De $p$ ? Pose $p = 2p'$ et substitue dans (a).
4. Déduis que $q$ est pair. Pose $q = 2q'$ et substitue.
5. Construis deux suites infinies d'entiers naturels $p_1, p_2, \ldots, p_n, \ldots$ et $q_1, q_2, \ldots, q_n, \ldots$ telles que $\frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2}{q_2} = \cdots = \frac{p_n}{q_n} = \cdots = \sqrt{2}$ et $p_1 > p_2 > \cdots > p_n > \cdots$. Explique pourquoi c'est impossible, et conclus.
Ensembles dénombrables. Un ensemble est dit dénombrable s'il est infini et qu'on peut numéroter ses éléments $x_0, x_1, \ldots, x_n, \ldots,$ etc. On peut alors dire qu'il est « aussi grand que $\mathbb{N}$ ».
1. Montre que $\mathbb{Z}$ est dénombrable.
2. (Chaud) Montre que $\mathbb{Q}$ est dénombrable. Indice : range les fractions $\frac{p}{q}$ par valeur croissante de $|p| + q$ ; pour chaque valeur de $|p| + q$, il n'y a qu'un nombre fini de fractions.
3. (Très très chaud !) Supposons que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ soit dénombrable, autrement dit qu'on peut lister toutes les parties de $\mathbb{N}$ : $X_0, X_1, X_2, \ldots$ Construis $Y \subset \mathbb{N}$ tel que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $k \in Y$ si et seulement si $k \notin X_k$. Pourquoi $Y \neq X_n$ pour tout $n$ ? En déduire une contradiction. (C'est la technique d'escalier, ou argument diagonal de Cantor.)