Inclusion. Soient $A$ et $B$ deux ensembles. On dit que $A$ est inclus dans $B$, et on note $A \subset B$, lorsque chaque élément de $A$ est aussi un élément de $B$. On dit aussi que $A$ est une partie de $B$, ou un sous-ensemble de $B$.
Autrement dit : $A \subset B$ signifie que pour tout $x$, si $x \in A$ alors $x \in B$.
Si $A$ n'est pas inclus dans $B$, on écrit $A \not\subset B$.
On note parfois $A \subseteq B$ à la place de $A \subset B$ pour insister sur le fait que $A$ peut être égal à $B$.
Différence entre $\in$ et $\subset$. Attention à ne pas confondre les deux symboles :
$\in$ relie un élément à un ensemble : $1 \in \{1, 2, 3\}$.
$1 \in \{1, 2, 3\}$ est vrai, mais $1 \subset \{1, 2, 3\}$ n'a pas de sens (car $1$ n'est pas un ensemble).
Propriétés. Pour tous ensembles $A, B, C$ :
$\emptyset \subset A$ : l'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble.
$A \subset A$ : tout ensemble est inclus dans lui-même (réflexivité).
Si $A \subset B$ et $B \subset C$, alors $A \subset C$ (transitivité).
Égalité par double inclusion. Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux si, et seulement si, $A \subset B$ et $B \subset A$. Pour montrer $A = B$, on prouve donc séparément les deux inclusions.
$A = B \iff (A \subset B \text{ et } B \subset A)$.
Illustration
$B \subset A$
Tout élément de $B$ est dans $A$.
$B \not\subset A$
$A$ et $B$ n'ont aucun élément en commun. On dit que $A$ et $B$ sont disjoints.
$B \not\subset A$
Certains éléments de $B$ sont dans $A$, mais pas tous !
Exemples
$\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}$ car $1 \in \{1, 2, 3\}$ et $2 \in \{1, 2, 3\}$.
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ : chaque entier naturel est un entier relatif.
$\{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ multiple de 6}\} \subset \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ pair}\}$.
L'ensemble des carrés est inclus dans l'ensemble des rectangles (un carré est un rectangle particulier).
$\{1, 2\} \in \{\,\{1, 2\}, \{3, 4\}\,\}$ mais $\{1, 2\} \not\subset \{\,\{1, 2\}, \{3, 4\}\,\}$ : le membre de droite a deux éléments ($\{1, 2\}$ et $\{3, 4\}$), pas $1$ ni $2$.
Soient $A = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ multiple de 4}\}$ et $B = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ pair}\}$. Justifie que $A \subset B$.
Donne deux ensembles infinis $A$ et $B$ avec $A \subset B$ et $A \neq B$ (ce qu'on note parfois $A \subsetneq B$).
Pour aller plus loin. Combien y a-t-il de sous-ensembles dans un ensemble à $n$ éléments ? → voir l'exercice 8 (page suivante), puis la fiche 4.
FICHE 3 · EXERCICESInclusion et sous-ensembles
★Application directe
Pour chaque paire $(A, B)$, dis si $A \subset B$, $B \subset A$, les deux (donc $A = B$), ou aucun des deux.
$A = \{1, 2\}$, $B = \{1, 2, 3\}$
$A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 2, 1\}$
$A = \{1, \{2\}\}$, $B = \{1, 2\}$
$A = \emptyset$, $B = \emptyset$
$A = \{1\}$, $B = \{\{1\}\}$
$A = \mathbb{N}$, $B = \mathbb{Z}$
Choisis le bon symbole entre $\in$ et $\subset$ pour rendre l'affirmation vraie (parfois les deux conviennent).
$1 \;?\; \{1, 2\}$
$\{1\} \;?\; \{1, 2\}$
$\emptyset \;?\; \{1, 2\}$
$\emptyset \;?\; \{\emptyset\}$
$\{1, 2\} \;?\; \{\{1, 2\}\}$
$\{1, 2\} \;?\; \{1, 2, 3\}$
★★Comprendre et traduire
Démontre l'inclusion $\{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ multiple de 6}\} \subset \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ multiple de 3}\}$ en partant d'un élément quelconque du membre de gauche.
Inclusion ou pas ? Justifie chaque réponse en une phrase.
Soit $A = \{1, 2, 3\}$. Liste tous les sous-ensembles de $A$. Combien y en a-t-il ?
Quelqu'un affirme : « $1 \in \{1\}$ et $\{1\} \subset \{1\}$, donc $1 \subset \{1\}$. » Où est l'erreur ?
★★★Pousser plus loin
Inclusion et cardinaux. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis. Utilise ton intuition pour répondre aux questions suivantes :
Si $A \subset B$, que penses-tu de $|A|$ et $|B|$ ? Est-ce que la réciproque est vraie ?
Et si $A \subsetneq B$ ?
Si $A \subset B$ et $|A| = |B|$, que penses-tu de $A$ et $B$ ?
Compter les sous-ensembles. Soit $A_n = \{1, \ldots, n\}$ un ensemble fini de cardinal $n$. On note $s_n$ le nombre de sous-ensembles de $A_n$ ; autrement dit, $s_n = |\mathcal{P}_n|$ où $\mathcal{P}_n = \{x \mid x \subset A_n\}$.
Décris en extension $A_1$, $A_2$, $A_3$.
Calcule $s_0$, $s_1$, $s_2$, $s_3$.
Conjecture une formule pour $s_n$.
(Bonus) Explique pourquoi cette formule est vraie. Indice : pour chaque élément, on a deux choix.
Inclusion stricte. On note $A \subsetneq B$ pour signifier $A \subset B$ et $A \neq B$.
Donne un exemple de $A$ et $B$ tels que $A \subsetneq B$.
Vrai ou faux ? « Si $A \subsetneq B$ et $B \subsetneq C$ alors $A \subsetneq C$. » Justifie ou donne un contre-exemple.
Existe-t-il un ensemble $A$ tel que $A \subsetneq A$ ? Justifie.